Question

14．已知橢圓E兩個焦點的坐標分別為（-1，0），（1，0），并且經(jīng)過點（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設與x軸不重合的直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點，且交橢圓E于A，B兩點，已知點D（2，0）．
證明：直線DA，DB的斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，再由橢圓的定義可得2a=4，結合a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；
（2）設直線AB為x=my+1，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由直線的斜率公式，化簡整理，計算即可得到定值．

解答 解：（1）由題意可得c=1，
由橢圓的定義可得2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$+$\sqrt{0+（\frac{3}{2}）^{2}}$=4，
即a=2，b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓E的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）證明：設直線AB為x=my+1，代入橢圓方程可得
（4+3m²）y²+6my-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
則x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2=$\frac{8}{4+3{m}^{2}}$，
x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=$\frac{4-12{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}$，
則直線DA，DB的斜率之積為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
=$\frac{\frac{-9}{4+3{m}^{2}}}{\frac{4-12{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}-\frac{16}{4+3{m}^{2}}+4}$=-$\frac{9}{4}$．
故直線DA，DB的斜率之積為定值．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查直線的斜率公式的運用，以及化簡整理的能力，屬于中檔題．