Question

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：如果對(duì)任意x₁、x₂∈R，都有f()≤［f(x₁)+f(x₂)］，則稱函數(shù)f(x)是R上的下凸函數(shù).已知二次函數(shù)f(x)=ax²+x(a∈R,a≠0).

（1）求證：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)是下凸函數(shù);

（2）如果x∈［0,1］時(shí)，|f(x)|≤1，試求實(shí)數(shù)a的范圍.

Answer 1

（1）證明：對(duì)任意x₁、x₂∈R,∵a＞0,

∴［f(x₁)+f(x₂)］-2f()=ax₁²+x₁+ax₂²+x₂-2［a()²+）］

=ax₁²+ax₂²-a(x₁²+x₂²+2x₁x₂)=a(x₁-x₂)²≥0.

∴f()≤［f(x₁)+f(x₂)］.

∴函數(shù)f(x)是下凸函數(shù).

(2)解：由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax²+x≤1.      (*)

當(dāng)x=0時(shí)，a∈R;當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，(*)式即恒成立,即

恒成立.

∵x∈(0,1],∴≥1.

∴當(dāng)=1時(shí)，-(+)²+取得最大值-2；當(dāng)=1時(shí)，(-)²-取得最小值0.

∴-2≤a≤0,結(jié)合a≠0，得-2≤a＜0.

綜上，a的范圍是［-2,0).