Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F且斜率為k的直線l與該拋物線分別交于A、B兩點（點A在第一象限），若

AF

=3

FB

，則k=

3

．

Answer 1

分析：作出拋物線的準線，設A、B在l上的射影分別是C、D，連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E．由拋物線的定義結(jié)合題中的數(shù)據(jù)，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=

1

2

，得∠BAE=60°，即直線AB的傾斜角為60°，從而得到直線AB的斜率k值．

解答：解：作出拋物線的準線l：x=-

p

2

，設A、B在l上的射影分別是C、D，
連接AC、BD，過B作BE⊥AC于E
∵

AF

=3

FB

，∴設

|FB|

=m，則

|AF|

=3m，（m）
由點A、B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得

|DB|

=

|FB|

=m，

|AC|

=

|AF|

=3m
∴

|AE|

=

|AC|

-

|CE|

=

|AC|

-

|DB|

=2m
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=

|AE|

|AB|

=

1

2

，得∠BAE=60°
所以，直線AB的傾斜角∠AFx=60°，
得直線AB的斜率k=tan60°=

3

故答案為：

3

點評：本題給出拋物線的焦點弦被焦點分成3：1的比，求直線的斜率k，著重考查了拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)，直線的斜率等知識點，屬于中檔題．