Question

20．用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）2+4+6+…+2n=n²+n；
（2）1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$；
（3）1³+2³+3³+…+n³=[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等時成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時，等式也成立即可．

解答 證明：（1）：①當(dāng)n=1時，左邊=2，右邊=1+1=2，
∴等式成立，
②假設(shè)n=k時等式成立，即2+4+6+…+2k=k²+k，
當(dāng)n=k+1時，等式左邊=2+4+6+…+2k+2（k+1）=k²+k+2（k+1）=（k+1）²+（k+1）
這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立，
根據(jù)①②，可知對n∈N^*等式成立；
（2）①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=$\frac{（1+1）（2+1）}{6}$，
∴等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$，
當(dāng)n=k+1時，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$+（k+1）²=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$，
這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立，
根據(jù)①②可知等式對任意正整數(shù)n都成立；
（3），①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=[$\frac{1}{2}$（1+1）]²=1，
∴等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時，等時成立，即1³+2³+3³+…+k³=[$\frac{1}{2}$k（k+1）]²．
那么，當(dāng)n=k+1時，有1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=[$\frac{1}{2}$k（k+1）]²+（k+1）³，
=（k+1）²•（$\frac{{k}^{2}}{4}$+k+1）
=（k+1）²•$\frac{{k}^{2}+4k+4}{4}$
=$\frac{（k+1）^{2}（k+2）^{2}}{4}$
═[$\frac{1}{2}$（k+1）（k+1+1）]²．
這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立，
根據(jù)①②，可知對n∈N^*等式成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．