Question

3．已知橢圓C₁的中心在坐標原點，兩個焦點分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），點A（2，3）在橢圓C₁上，過點A的直線L與拋物線C₂：x²=4y交于B，C兩點，拋物線C₂在點B，C處的切線分別為l₁，l₂，且l₁與l₂交于點P．
（Ⅰ） 求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）是否存在滿足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的點P？若存在，指出這樣的點P有幾個（不必求出點P的坐標）； 若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由c=2，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（II）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．設直線AB的方程為：y-3=k（x-2），與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4kx+8k-12=0．由拋物線C₂：x²=4y，可得${y}^{′}=\frac{1}{2}x$．可得 C₂在點B處的切線l₁的方程為：$y=\frac{1}{2}{x}_{1}•x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$．C₂在點C處的切線l₂的方程為：$y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$．聯(lián)立P（2k，2k-3）．由于|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，可得點P在橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$上．代入可得7k²-12k-3=0．由△₁＞0，可得方程有兩個不等的實數(shù)根．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由c=2，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a²=16，b²=12．
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
設直線AB的方程為：y-3=k（x-2），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-2k}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化為x²-4kx+8k-12=0．
△=16k²-4（8k-12）＞0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-12．
由拋物線C₂：x²=4y，可得${y}^{′}=\frac{1}{2}x$．
∴C₂在點B處的切線l₁的方程為：$y=\frac{1}{2}{x}_{1}•x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$．．
同理C₂在點C處的切線l₂的方程為：$y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}}\\{y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=2k-2}\end{array}\right.$，∴P（2k，2k-3）．
∵|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，
∴點P在橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$上．
∴$\frac{（2k）^{2}}{16}+\frac{（2k-3）^{2}}{12}=1$．
化簡得7k²-12k-3=0．（*）
由△₁=12²+4×21＞0，可得方程（*）有兩個不等的實數(shù)根．
∴滿足條件的點P有兩個．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、直線與拋物線相切切線問題、導數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于難題