Question

15．若函數(shù)f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個子區(qū)間（k-1，k+1）上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍（　�。�

• A． [1，$\frac{3}{2}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴函數(shù)的f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-1}{x}$，
由f′（x）＞0解得x＞$\frac{1}{2}$，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0解得0＜x＜$\frac{1}{2}$，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得極小值．
①當(dāng)k=1時，（k-1，k+1）為（0，2），函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)減，在（$\frac{1}{2}$，2）上單調(diào)增，此時滿足題意；
②當(dāng)k＞1時，∵函數(shù)f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
∴x=$\frac{1}{2}$在（k-1，k+1）內(nèi)，
即$\left\{\begin{array}{l}{k-1＜\frac{1}{2}}\\{k+1＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＜\frac{3}{2}}\\{k＞-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$-\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{3}{2}$，
此時1＜k＜$\frac{3}{2}$，
綜上1≤k＜$\frac{3}{2}$，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值是解決本題的關(guān)鍵．