Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：經(jīng)過(guò)伸縮變換后所得曲線記為.以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系Ox.

（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知A，B是曲線上任意兩點(diǎn)，且，求證：O到直線AB的距離為常數(shù).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）由已知，得，代入曲線，即可得到曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合，，可得曲線的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）由已知，不妨設(shè)，，，，，由（Ⅰ）知，，到直線的距離，代入即可證明到直線的距離為常數(shù)．

解：（Ⅰ）由已知，得，

代入C：得，

即曲線的直角坐標(biāo)方程為：.

又，故極坐標(biāo)方程為，

化簡(jiǎn)得：極坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）由已知，不妨設(shè)，

由（Ⅰ）知：，故，

O到直線AB的距離，

，

所以，故O到直線AB的距離為常數(shù).