Question

已知向量a=(1，1)，b=(1，0)，c滿足a·c=0，且|a|=|c|，b·c＞0.

(1)求向量c；

(2)若映射f：(x，y)→(x′，y′)=xa+yc；

①求映射f下(1，2)的原象；

②若將(x，y)作點(diǎn)的坐標(biāo)，問是否存在直線l使得直線l上任一點(diǎn)在映射f的作用下，仍在直線上，若存在求出l的方程，若不存在說明理由.

Answer 1

解：(1)設(shè)c=(x，y)，則

∴∴c=(1，-1).                                                    

(2)①x(1,1)+y(1,-1)=(1,2),

∴

∴原象是(,-).                                                           

②假設(shè)l存在，設(shè)其方程為y=kx+b(k≠0),

又xa+yc=(x+y，x-y).

∵點(diǎn)(x+y,x-y)在直線上,

∴x-y=k(x+y)+b,

即(1+k)y=(1-k)x-b與y=kx+b表示同一直線.

∴b=0,k=-1±.

∴直線l存在，其方程為y=(-1±)x.