Question

16．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），ω＞0．
（1）若f（x）在（0，$\frac{π}{3}$）上單調(diào)遞增，求ω的最大值；
（2）若f（x+θ），θ∈（0，π）是周期為2π的偶函數(shù)，求ω及θ的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求得函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{2kπ-\frac{5π}{6}}{3ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{6}}{3ω}$]，依題意知，（0，$\frac{π}{3}$）⊆[-$\frac{5π}{18ω}$，$\frac{π}{18ω}$]，可得$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{18ω}$，由此求得ω的最大值．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），此函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{3ω}$=2π，求得ω 的值，再根據(jù) f（x+θ）為偶函數(shù)，可得sin（θ+$\frac{π}{3}$）=±1，故θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，再結(jié)合θ∈（0，π），求得θ 的值．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），ω＞0，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤3ωx+$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得$\frac{2kπ-\frac{5π}{6}}{3ω}$≤x≤$\frac{2kπ+\frac{π}{6}}{3ω}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{2kπ-\frac{5π}{6}}{3ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{6}}{3ω}$]，
依題意知，當(dāng)k=0時(shí)，（0，$\frac{π}{3}$）⊆[-$\frac{5π}{18ω}$，$\frac{π}{18ω}$]，∴$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{18ω}$，∴ω≤$\frac{1}{6}$，
即ω的最大值為$\frac{1}{6}$．
（2）函數(shù)f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），故函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{3ω}$=2π，
求得ω=$\frac{1}{3}$，∴f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin（x+θ+$\frac{π}{3}$），為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，sin（θ+$\frac{π}{3}$）=±1，∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z．
再結(jié)合θ∈（0，π），可得θ=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性和奇偶性，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．