Question

【題目】設(shè)橢圓的離心率，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若直線垂直于軸時(shí)，有.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線： 上兩點(diǎn)， 關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）由離心率可得的關(guān)系，再由，結(jié)合隱含條件，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得的坐標(biāo)，則所在的直線方程可求，取，求得的坐標(biāo)，得到，結(jié)合的面積為，即可求解實(shí)數(shù)的值，得到直線方程.

試題解析：

（1）設(shè)，因?yàn)?/span>所以有，又由得，

且，得，因此橢圓的方程為： .

（2）設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理， 解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，

可得點(diǎn).由，可得直線的方程為

，令，

解得，故. 所以.

又因?yàn)?/span>的面積為，故，

整理得，解得，所以.

所以，直線的方程為或.