Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前4項和為60，且a₂+a₄=34，等比數(shù)列{b_n}的前4項和為120，且b₂+b₄=90.

(1)求{a_n}、{b_n}的通項公式；

(2)對一切正整數(shù)n，是否存在正整數(shù)P，使得a_P=b_n²？不論存在與否，請給出證明.

Answer 1

解：設等差數(shù)列的首項為a₁，公差為d，等比數(shù)列的首項為b₁，公比為q，由{a_n}的前4項和為60，且a₂+a₄=34，得a₁=9,d=4.                                               

等比數(shù)列{b_n}的前4項和為120，且b₂+b₄=90,得b₁=3,q=3,

所以a_n=4n+5,b_n=3ⁿ.                                                           

(2)由(1)知b_n²=9ⁿ，令4P+5=9ⁿ，得P=,                                    

而9ⁿ-5=(8+1)ⁿ-5=·8ⁿ+·8^n-1+…+·8-4,                                 

∵x∈N^*,∴9ⁿ-5≥4且上式括號中的數(shù)是4的倍數(shù)，所以能被4整除，

∴9ⁿ-5對一切正整數(shù)n，使得滿足a_P=b_n²的正整數(shù)P總存在.