Question

閱讀課本,我們學(xué)習(xí)了sin(α+β)展開的公式,但是粗心的同學(xué)總把公式錯寫成sin(α+β)=sinα+sinβ.現(xiàn)請問,這一等式是否一定不可能成立?若是,請說明理由;若可能成立,求出α、β應(yīng)滿足的條件.

      

Answer 1

解析:若sin(α+β)=sinα+sinβ成立,我們尋求等式成立的充分條件,如果充分條件不存在,則說明等式不成立.從而將反溯條件型開放性問題轉(zhuǎn)化為封閉性的求解問題.?

       由sin(α+β)=sinα+sinβ,?

       而sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,?

       從而sinαcosβ+cosαsinβ-sinα-sinβ=0,?

       得sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)=0.?

       由余弦二倍角公式,有?

       -2sinαsin²-2sinβsin² =0,?

       由正弦二倍角公式,有?

       2sincossin²+2sincossin²=0,?

       得sinsin(sincos+cossin)=0,?

       即sinsinsin =0.?

       這時(shí),α=2kπ或β=2kπ或α+β=2kπ(k∈Z).?

       綜上可知當(dāng)α=2kπ或β=2kπ或α+β=2kπ(k∈Z)時(shí),sin(α+β)=sinα+sinβ成立,否則不成立.