Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當x∈（0，1）時，f（x）=2^x+2^-x．
（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；
（2）判斷f（x）在（-2，-1）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)f（x）的定義域為R，周期為2得到f（-1）=f（-1+2）=f（1），且f（-1）=-f（1），求出f（-1）=0；再結(jié)合x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-即可得到結(jié)論．
（2）方法一：用單調(diào)性的定義證明即可．
方法二：先求出其導函數(shù)，再結(jié)合導函數(shù)的正負即可得到結(jié)論．
解答：解；（1）因為奇函數(shù)f（x）的定義域為R，周期為2，
所以f（-1）=f（-1+2）=f（1），且f（-1）=-f（1），于是f（-1）=0．…（2分）
當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），f（x）=-f（-x）=-（2^-x+2^x）=-2^x-2^-x．…（5分）
所以f（x）在[-1，0）上的解析式為…（7分）
（2）f（x）在（-2，-1）上是單調(diào)增函數(shù)．…（9分）
先討論f（x）在（0，1）上的單調(diào)性．
[方法1]設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則
因為0＜x₁＜x₂＜1，所以，于是，
從而f（x₁）-f（x₂）＜0，所以f（x）在（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)．…（12分）
因為f（x）的周期為2，所以f（x）在（-2，-1）上亦為單調(diào)增函數(shù)．…（14分）
[方法2]當x∈（0，1）時，f'（x）=（2^x-2^-x）ln2．
因為ln2＞0，2^x-2^-x＞0，所以f'（x）=（2^x-2^-x）ln2＞0，
所以f（x）在（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)．…（12分）
因為f（x）的周期為2，所以f（x）在（-2，-1）上亦為單調(diào)增函數(shù)．…（14分）
[注]第（2）小題亦可利用周期性求出f（x）=2^x+2+2^-x-2（-2＜x＜-1），再利用定義或?qū)��?shù)確定單調(diào)性．
點評：本題考查奇偶性、周期性的綜合應(yīng)用，及函數(shù)單調(diào)性的證明，綜合性較強．