Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，記△AOB面積的最大值為S_k，證明：S₁=S₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率及橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切求出a，b，從而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AB|的距離，表示出△OAB的面積，利用基本不等式求最值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，e²=（$\frac{c}{a}$）²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
則a²=2b²；
又∵原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{2}$=0相切，
則b=$\frac{|\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}$=1，
∴b²=1，a²=2；
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，k=1或2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
所以△=16k²-8m²+8＞0（*）
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$•$\sqrt{8（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$，
由原點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$$\sqrt{{m}^{2}（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$，
當(dāng)k=1時，由S_△AOB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{{m}^{2}（3-{m}^{2}）}$，
當(dāng)m²=$\frac{3}{2}$時，S_△AOB的面積的最大值為S₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，驗(yàn)證（*）成立；
當(dāng)k=2時，由S_△AOB=$\frac{\sqrt{2}}{9}$$\sqrt{{m}^{2}（9-{m}^{2}）}$，
當(dāng)m²=$\frac{9}{2}$時，S_△AOB的面積的最大值為S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，驗(yàn)證（*）成立．
即有S₁=S₂．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及基本不等式求最值，屬于中檔題．