Question

10．如圖，已知PA與圓O相切于點A，經過點O的割線PBC交圓O于點B、C，∠APC的平分線分別交AB、AC于點D、E，AC=AP．
（1）證明：∠ADE=∠AED；
（2）證明PC=$\sqrt{3}$PA．

Answer 1

分析 （1）根據弦切角定理，得到∠BAP=∠C，結合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；
（2）通過內角相等證明出△APC∽△BPA，根據AC=AP得到∠APC=∠C，結合（I）中的結論可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根據直徑BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形內角和定理可得∠C=∠APC=∠BAP=30°．利用直角三角形中正切的定義，得到$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{3}$，即可證明結論．

解答 證明：（1）∵PA是切線，AB是弦，∴∠BAP=∠C
又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE
∴∠ADE=∠AED； …（5分）
（2）由（1）知∠BAP=∠C，又∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{AC}{AB}$，
∵AC=AP，∠BAP=∠C=∠APC，
由三角形的內角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180°，
∵BC是圓O的直徑，∴∠BAC=90°
∴∠C+∠APC+∠BAP=90°，∴∠C=∠APC=∠BAP=30°，
在Rt△ABC中，$\frac{AC}{AB}$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{PC}{PA}$=$\sqrt{3}$，∴PC=$\sqrt{3}$PA     …（10分）

點評 本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函數的定義和相似三角形的性質等知識點，屬于中檔題．找到題中角的等量關系，計算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解決本題的關鍵所在．