Question

18．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=lg（2+x）-lg（-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；
（2）解不等式f（x）＜1．

Answer 1

分析 （1）由已知令t=x+1，則f（t）=lg（t+1）-lg（1-t），然后還原；
（2）由（1）得到不等式，借助于對(duì)數(shù)函數(shù)的大小，得到分式不等式解之．

解答 解：（1）由已知令t=x+1，則f（t）=lg（t+1）-lg（1-t），
即f（x）=lg（x+1）-lg（1-x）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得到-1＜x＜1，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）f（x）=lg（x+1）-lg（1-x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$＜1，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}＜10}\\{-1＜x＜1}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜$\frac{9}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了換元法求函數(shù)解析式以及解對(duì)數(shù)不等式；比較基礎(chǔ)．