Question

如圖，ABEDFC為多面體，平面ABED與平面ACFD垂直，點O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形，
(1)證明直線BC∥EF；
(2)求棱錐F-OBED的體積．

Answer 1

(1)證明：設(shè)G是線段DA與線段EB延長線的交點， 由于△OAB與△ODE都是正三角形， 所以O(shè)BDE，OG=OD=2， 同理，設(shè)G′是線段DA與線段FC延長線的交點，有OG′=OD=2， 又由于G和G′都在線段DA的延長線上，所以G與G′重合． 在△GED和△GFD中，由OBDE和OCDF， 可知B，C分別是GE和GF的中點， 所以BC是△GEF的中位線， 故BC∥EF。 (2)解：由OB=1，OE=2，∠EOB=60°，知， 而△OED是邊長為2的正三角形，故， 所以， 過點F作FQ⊥AD，交AD于點Q， 由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且， 所以。