Question

已知函數(shù)f（x）=cos（+x）cos（），g（x）=sin2x-．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩角和與差的余弦公式將f（x）展開，化簡得f（x）=cos²x-sin²x，再根據(jù)二倍角的余弦公式化簡整理，即可得到f（x）=cos2x-，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式即可算出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)（1）中化簡的結(jié)果，得h（x）=f（x）-g（x）=sin2x-cos2x，利用輔助角公式合并得h（x）=sin（2x-），再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到使h（x）取得最大值的x的集合．
解答：解：（1）f（x）=cos（+x）cos（）
=（coscosx-sinsinx）（coscosx+sinsinx）
=cos²cos²x-sin²sin²x=cos²x-sin²x，
∵cos²x=，sin²x=
∴f（x）=×-×=cos2x-
因此，函數(shù)f（x）的最小正周期T==π；
（2）由（1）得f（x）=cos2x-，
∴h（x）=f（x）-g（x）=cos2x--（sin2x-）=sin2x-cos2x
∵sin2x-cos2x=sin（2x-）
∴當(dāng)2x-=+2kπ，即x=+kπ（k∈Z）時，sin2x-cos2x取得最大值為
由此可得使h（x）取得最大值的x的集合為{x|x=+kπ，k∈Z}
點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的最小正周期并求當(dāng)函數(shù)取得最大值時x的集合．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角恒等變換公式等知識，屬于中檔題．