Question

（本題滿分16分）

已知函數(shù)，，且）．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，關(guān)于的方程有唯一解，求a的值.

Answer 1

（本題滿分16分）

（1）由已知得x＞0且．

當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，，則f(x)在(0,+)上是增函數(shù);       …………………3分

當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則.　    ………………………5分

所以當(dāng)x時(shí)，，當(dāng)x時(shí)，.

故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．………………7分

（2）若，則.

記g (x) = f (x) – 2ax = x ² – 2 a xlnx – 2ax, ,

若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；     ………………………………9分

令,得.因?yàn)?sub>，

所以（舍去），.  …………………11分

當(dāng)時(shí)，，在是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

當(dāng)x=x₂時(shí), ，.        ……………………………12分

因?yàn)?sub>有唯一解，所以.

則 即    ……………………………13分

兩式相減得因?yàn)?i>a>0，所以. …………14分

設(shè)函數(shù)，

因?yàn)樵?i>x>0時(shí)，h (x)是增函數(shù)，所以h (x) = 0至多有一解．

因?yàn)?i>h (1) = 0，所以方程(*)的解為x ₂ = 1，從而解得．……………………16