Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，當(dāng)E、F分別在線(xiàn)段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=4，CB=6，AE=2，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直．

（1）判斷直線(xiàn)AD與BC是否共面，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)直線(xiàn)AC與平面EFCD所成角為多少時(shí)，二面角A-DC-E的大小是60°．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線(xiàn)AD與BC是異面直線(xiàn)，我們可以用兩種不同的方法來(lái)證明結(jié)論．
反證法：假直線(xiàn)AD與BC共面，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理及平行公理，我們可以得到CD∥AB，這與已知中ABCD為梯形矛盾，進(jìn)而得到直線(xiàn)AD與BC是異面直線(xiàn)；
直接法：在FC上取一點(diǎn)M，使FM=ED，根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)，可得DM∥AB，進(jìn)而根據(jù)異面直線(xiàn)判定定理，得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)CD，EF，相交于N，設(shè)AB=x，則△NDE中，NE=x，過(guò)E作EH⊥DN于H，連接AH，可證得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，由已知中二面角A-DC-E的大小是60°我們可以構(gòu)造方程求出x值，構(gòu)造∠ACE是直線(xiàn)AC與平面EFCD所成的角，解三角形ACE即可求出直線(xiàn)AC與平面EFCD所成角，進(jìn)而得到答案．
解答：證明：（1）直線(xiàn)AD與BC是異面直線(xiàn)，（1分）
法一（反證法）假設(shè)直線(xiàn)AD與BC共面為α．
∵EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴EF∥AB，EF?α，AB?α．
∴EF∥α，又EFCD∩α=CD
∴EF∥CD．
∴CD∥AB
這與ABCD為梯形矛盾．故假設(shè)不成立．即直線(xiàn)AD與BC是異面直線(xiàn)．
法二：在FC上取一點(diǎn)M，使FM=ED，又FM∥ED，
∴EFMD是平行四邊形．
∴DM∥EF，又EF∥AB
∴DM∥AB，
則DM，AB確定平面α，B∈α，C∉α，AD?α
∴BC與AD是異面直線(xiàn)．
解：（2）延長(zhǎng)CD，EF，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，
∴ED=2，CF=4，設(shè)AB=x，則△NDE中，NE=x，
∵AE⊥EF，平面ABFE⊥平面EFCD，
∴AE⊥平面EFCD．過(guò)E作EH⊥DN于H，連接AH，
則AH⊥DN．
∴∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，
則∠AHE=60°．
∵NE=x，DE=2
∴HE=，AE=2，
∴tan∠AHE===
∴x=，
此時(shí)在△EFC中，EF=，F(xiàn)C=4
∴EC=3，．又AE⊥平面EFCD，
∴∠ACE是直線(xiàn)AC與平面EFCD所成的角，
∴tan∠ACE==
即當(dāng)直線(xiàn)AC與平面EFCD所成角為arctan時(shí)，二面角A-DC-E的大小為60°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，異面直線(xiàn)的判定，其中（1）中反證法關(guān)鍵是由假設(shè)結(jié)論不成立，推理后得到矛盾，直接法是要熟練掌握異面直線(xiàn)的判定定理，（2）的關(guān)鍵是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直線(xiàn)AC與平面EFCD所成的角．