Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2n-2，n∈N^*，且S₂=6．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系、等差數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）．n≥3，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$$\frac{2}{2n（2n-1）}$＜$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）解：∵a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2n-2，n∈N^*，且S₂=6．
∴a₂=$\frac{6}{2}$+2×2-2=5，a₁+a₂=6，
解得a₁=1．
又na_n=S_n+2n²-2n，
當n≥2時，（n-1）a_n-1=S_n-1+2（n-1）²-2（n-1），
相減可得：na_n-（n-1）a_n-1=a_n+4n-4，
化為a_n-a_n-1=4，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為4．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（2）證明：S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）．
∴n≥3，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（2n-1）}$$\frac{2}{2n（2n-1）}$＜$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1+$\frac{1}{3}$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$=$\frac{5}{3}$-$\frac{1}{2n-1}$＜$\frac{5}{3}$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+$\frac{1}{{S}_{3}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．