Question

用總長(zhǎng)14.8 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架.如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積.

Answer 1

解:設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x m,則另一邊長(zhǎng)為(x+0.5) m,高為

    =3.2-2x(m).

    設(shè)容積為y m³,

    則y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0＜x＜1.6),

    整理,得y=-2x³+2.2x²+1.6x.

    所以y′=-6x²+4.4x+1.6.

    令y′=0,

    即-6x²+4.4x+1.6=0,

    所以15x²-11x-4=0.

    解得x=1或x=-(不合題意,舍去).

    從而在定義域(0,1.6)內(nèi)只有x=1處使得y′=0.

    由題意,若x過(guò)小(接近0)或過(guò)大(接近1.6)時(shí),y值很小(接近0).

    因此,當(dāng)x=1時(shí),y有最大值且y_max=-2+2.2+1.6=1.8,

    此時(shí),高為3.2-2×1=1.2.

    答:容器的高為1.2 m時(shí),容積最大,最大容積改為1.8 m³.