Question

已知定點(diǎn)A（0，1），B（0，-1），C（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明方程表示的曲線(xiàn)類(lèi)型；
（2）求|

AP

+

BP

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，給出向量

AP

、

BP

、

PC

的坐標(biāo)，由

AP

•

BP

=k|

PC

|2建立關(guān)于x、y的方程，化簡(jiǎn)得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0．根據(jù)k是否等于1討論，可得方程所表示的曲線(xiàn)類(lèi)型；
（2）k=2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為（x-2）²+y²=1，由此化簡(jiǎn)得|

AP

+

BP

|=2

x2+y2

=2

4x-3

，利用1≤x≤3即可算出|

AP

+

BP

|的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），可得

AP

=(x，y-1)，

BP

=(x，y+1)，

PC

=(1-x，-y)，
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|2，
∴x²+y²-1=k（x-1）²+ky²
化簡(jiǎn)得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0…4分
①當(dāng)k=1時(shí)，方程為x=1，表示直線(xiàn)；…5分
②當(dāng)k≠1時(shí)，方程為(x-

k

k-1

)2+y2=(

1

k-1

)2，
方程表示(

k

k-1

，0)為圓心、

1

|k-1|

為半徑的圓．…7分
（2）當(dāng)k=2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡方程為（x-2）²+y²=1，
∴|

AP

+

BP

|=2

x2+y2

將（x-1）²+y²=1化簡(jiǎn)得x²+y²=4x-3，
∴|

AP

+

BP

|=2

4x-3

，…10分
結(jié)合1≤x≤3，可得|

AP

+

BP

|_max=6，|

AP

+

BP

|_min=2
∴|

AP

+

BP

|的取值范圍為：2≤|

AP

+

BP

|≤6，…13分

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足的條件，求P的軌跡方程，并求向量模的取值范圍．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和動(dòng)點(diǎn)軌跡方程求法等知識(shí)，屬于中檔題．