Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，真數(shù)大于0，求解其定義域，根據(jù)定義域范圍再求解值域．
（2）利用定義判斷奇偶性即可．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
其定義域滿足：$\left\{\begin{array}{l}{3-x＞0}\\{3+x＞0}\end{array}\right.$，解得：-3＜x＜3．
所以函數(shù)f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）的定義域為（-3，3）．
函數(shù)f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=f（x）=log₃（9-x²）
令u=9-x²（u＞0）其在x=0時取得最大值為9，
故得函數(shù)f（x）最大值為2，
所以函數(shù)f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）的定義域為（-∞，2]．
（2）由（1）可知定義域關(guān)于原點對稱．
f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x）
所以原函數(shù)為偶函數(shù)．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域和值域的求法以及奇偶性的判斷問題．屬于基礎題．