Question

18．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若4S_n=（2n-1）a_n+1+1，且a₁=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$，數列{c_n}的前n項和為T_n．
①求T_n；
②對于任意的n∈N^*及x∈R，不等式kx²-6kx+k+7+3T_n＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）充分利用已知4S_n=（2n-1）a_n+1+1，將式子中n換成n-1，然后相減得到a_n與a_n+1的關系，利用累乘法得到數列的通項，
（2）①利用裂項求和，即可求出T_n，
②根據函數的思想求出$\frac{n}{2n+1}$≥$\frac{1}{3}$，問題轉化為kx²-6kx+k+8＞0恒成立，分類討論即可．

解答 解：（1）∵4S_n=（2n-1）a_n+1+1，
∴4S_n-1=（2n-3）a_n+1，n≥2
∴4a_n=（2n-1）a_n+1-（2n-3）a_n，
整理得（2n+1）a_n=（2n-1）a_n+1，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{3}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$
以上各式相乘得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=2n-1，又a₁=1，
所以a_n=2n-1，
（2）①∵c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
②由①可知T_n=$\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$≥$\frac{1}{3}$，
∵kx²-6kx+k+7+3T_n＞0恒成立，
∴kx²-6kx+k+8＞0恒成立，
當k=0時，8＞0恒成立，
當k≠0時，則得$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=36{k}^{2}-4k（k+8）＜0}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1，
綜上所述實數k的取值范圍為[0，1）．

點評 本題考查了利用累乘法求數列的通項公式，裂項求和，數列的函數特征，以及不等式恒成立，屬于中檔題．