Question

11．已知y=log_a（ax²-（3-a）x+2）在[0，1]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 題目所給的函數(shù)是一個對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，可分兩類，此兩類為當(dāng)a＞1時與當(dāng)0＜a＜1時，再依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出a滿足的不等式組，求出a的取值范圍．

解答 解：由題意y=log_a（ax²-（3-a）x+2）在[0，1]上是增函數(shù)．
當(dāng)a＞1時，外層函數(shù)是增函數(shù)，由于內(nèi)層函數(shù)的對稱軸是x=$\frac{3-a}{2a}$，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，內(nèi)層函數(shù)在[0，1]是增函數(shù)，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-a}{2a}≤0}\\{a×{0}^{2}-（3-a）×0+2＞0}\end{array}\right.$，解得a≥3；
當(dāng)0＜a＜1時，外層函數(shù)是減函數(shù)，此時內(nèi)層函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-a}{2a}≥1}\\{a-（3-a）+2＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
綜上知，a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵是運用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化出參數(shù)滿足的不等式組，本題易因為忘記真數(shù)大于0的限制，導(dǎo)致所求的參數(shù)的范圍過大，轉(zhuǎn)化時要注意保證等價，本題考查了判斷推理的能力，是對數(shù)中難度較大、綜合性較強的題目．