Question

8．下列不等式中，正確的個數(shù)為（　�。�
①若x＞0且x≠1，則$lnx+\frac{1}{lnx}≥2$；
②a²+b²+2≥2a+2b；
③${x^2}+\frac{1}{{{x^2}+1}}≥1$；
④若a＞0，b＞0，則$\frac{a^2}+\frac{b^2}{a}≥a+b$；
⑤任意的x＞0，都有e^x＞x+1．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用題意結(jié)合不等式的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)逐一考查所給的不等式即可求得最終結(jié)果．

解答 解：逐一考查所給的不等式：
①當$x=\frac{1}{e}$ 時，$lnx+\frac{1}{lnx}=-2＜2$，該命題錯誤；
②（a²+b²+2）-（2a+2b）=（a-1）²+（b-1）²≥0，
則a²+b²+2≥2a+2b，該命題正確；
③x²+1≥1，則${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}+1}=（{x}^{2}+1）+\frac{1}{{x}^{2}+1}-1≥1+\frac{1}{1}-1=1$，該命題正確；
④$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{a}-（a+b）=（\frac{{a}^{2}}-\frac{^{2}}）+（\frac{^{2}}{a}-\frac{{a}^{2}}{a}）=\frac{（a+b）{（a-b）}^{2}}{ab}≥0$，
則 $\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{a}≥a+b$，該命題正確；
⑤函數(shù)y=e^x在x=0處的切線方程為y=x+1，結(jié)合函數(shù)y=e^x和y=x+1的圖象可得：
任意的x＞0，都有e^x＞x+1，該命題正確；
綜上可得：不等式中，正確的個數(shù)為4個．
故選：D．

點評 本題考查均值不等式的性質(zhì)，代數(shù)式比較大小的方法，導函數(shù)研究函數(shù)的切線，數(shù)形結(jié)合的思想等，重點考查學生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題．