Question

已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝(x²＋)(x＋a)

(1)若函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；

(2)若(－1)＝0，(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若對任意的x₁，x₂∈[－1，0]，不等式|f(x₁)－f(x₂)|≤m恒成立，試求m的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋x＋a，∴f1(x)＝3x2＋2ax＋． 　　∵函數(shù)f(x)的圖象上有與x軸平行的切線，∴f1(x)＝0有實數(shù)解，∴△＝4a2－4×3×3/2≥0，∴a2≥9/2，因此，所求實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－)∪(，＋∞)．　　4分 　　(2)(I)∵(－1)＝0，∴3－2a＋3/2＝0，即a＝9/4，(x)＝3x2＋2ax＋3/2＝3(x＋1/2)(x＋1)．由(x)＞0，得x＜－1或x＞－1/2，由(x)＜0，得－1＜x＜－1/2． 　　因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1]，[－1/2，＋∞)； 　　單調(diào)減區(qū)間為[－1，－1/2]　　8分 　　(ii)由(I)的結(jié)論可知，f(x)在[－1，－1/2]上的最大值為f(－1)＝25/8，最小值為f(－1/2)＝49/16，f(x)在[－1/2，0]上的最大值為f(0)＝27/8，最小值為f(－1/2)＝49/16，∴f(x)在[－1，0]上的最大值為f(0)＝27/8，最小值為f(－1/2)＝49/16．因此，任意的x1，x2∈[－1，0]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤．故mmin＝　　13分