Question

（2013•唐山二模）已知函數(shù)f(x)=xlnx-

a

2

x2，a∈R
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，求a的最小值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，可得不等式，分離參數(shù)，求最值，即可求a的最小值；
（Ⅱ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）有兩個極值點，即可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=lnx+1-ax．
f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減當且僅當f′（x）≤0，即?x∈（0，+∞），a≥

lnx+1

x

．①
設(shè)g（x）=

lnx+1

x

，則g′（x）=-

lnx

x2

．
當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
所以g（x）≤g（1）=1，故a的最小值為1．…（5分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，當a≥1時，f（x）沒有極值點．
②當a≤0時，f′（x）單調(diào)遞增，f′（x）至多有一個零點，f（x）不可能有兩個極值點．…（7分）
③當0＜a＜1時，設(shè)h（x）=lnx+1-ax，則h′（x）=

1

x

-a．
當x∈（0，

1

a

）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當x∈（

1

a

，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．…（9分）
因為f′（

1

a

）=h（

1

a

）=ln

1

a

＞0，f′（

1

e

）=h（

1

e

）=-

a

e

＜0，
所以f（x）在區(qū)間（

1

e

，

1

a

）有一極小值點x₁．…（10分）
由（Ⅰ）中的①式，有1≥

lnx+1

x

，即lnx≤x-1，則ln

1

a

≤

1

a

-1，
故f′（

2

a2

）=h（

2

a2

）=ln2+2ln

1

a

+1-

2

a

≤ln2+2（

1

a

-1）+1-

2

a

=ln2-1＜0．
所以f（x）在區(qū)間（

1

a

，

2

a2

）有一極大值點x₂．
綜上所述，a的取值范圍是（0，1）．…（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的難度．