Question

等比數(shù)列公比不為1，其前n項和、前2n項和、前3n項和分別為P、Q、R，則（　�。�

A．P+R=2Q

B．Q²=PR

C．R=3（Q-P）

D．P²+Q²=P（Q+R）

Answer 1

分析：由公比q不為1，利用等比數(shù)列的求和公式分別表示出前n項和、前2n項和、前3n項和，即表示出P、Q、R，代入四選項中進行檢驗，即可得到正確的選項．

解答：解：∵q≠1，
∴P=S_n=

a1(1-qn)

1-q

，Q=S_2n=

a1(1-q2n)

1-q

，R=S_3n=

a1(1-q3n)

1-q

，
則P+R=

a1(1-qn)

1-q

+

a1(1-q3n)

1-q

=

a1(2-qn-q3n)

1-q

≠

a1(1-q2n)

1-q

=R，故選項A錯誤；
Q²=

a12(1-q2n)2

(1-q)2

≠

a1(1-qn)

1-q

•

a1(1-q3n)

1-q

=PR，故選項B錯誤；
R=

a1(1-q3n)

1-q

≠3（

a1(1-q2n)

1-q

-

a1(1-qn)

1-q

）=3（Q-P），故選項C錯誤；
∵P²+Q²=

a12

(1-q)2

[（1-qⁿ）²+（1-q²ⁿ）²]=

a12

(1-q)2

（q⁴ⁿ-q²ⁿ-2qⁿ+2），
P（Q+R）=

a1(1-qn)

1-q

[

a1(1-q2n)

1-q

+

a1(1-q3n)

1-q

]=

a12

(1-q)2

（q⁴ⁿ-q²ⁿ-2qⁿ+2），
則P²+Q²=P（Q+R），故選項D正確，
故選D

點評：此題考查了等比數(shù)列的前n項和公式，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列掌握等比數(shù)列的求和公式是解本題的關(guān)鍵．