Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ABC=90°,BC=2,CC₁=4,EB₁=1,D、F、G分別是CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中點(diǎn),EF與B₁D相交于H.

(1)求證:B₁D⊥平面ABD;

(2)求證:平面EFG∥平面ABD;

(3)求平面EGF與平面ABD的距離.

Answer 1

思路分析:“面面距離”可轉(zhuǎn)化為“線面距離”或“點(diǎn)面距離”來解決.

解法一：(1)證明:由直三棱柱的性質(zhì)可得,平面ABC⊥平面BB₁C₁C,又已知AB⊥BC,

    ∴AB⊥平面BB₁C₁C.

    又B₁D平面BB₁C₁C,

    ∴AB⊥B₁D.

    已知BC=CD=DC₁=B₁C₁=2,

    ∴在Rt△BCD與Rt△DC₁B₁中可求得∠BDC=∠B₁DC₁=45°,

    ∴∠BDB₁=90°,即B₁D⊥BD.

    又AB∩BD=B,

    ∴B₁D⊥平面ABD.

     (2)證明:由題意易知EB₁=B₁F=1,

    ∴在Rt△EB₁F中,∠FEB₁=45°.

    又∠DBB₁=45°,

    ∴EF∥BD.

    而BD平面ABD,EF平面ABD,

    ∴EF∥平面ABD.

    ∵G、F分別為A₁C₁、B₁C₁的中點(diǎn),

    ∴GF∥A₁B₁.

    又A₁B₁∥AB,

    則GF∥AB.

    而AB平面ABD,GF平面ABD,

    ∴GF∥平面ABD.

    而EF平面EGF,GF平面EFG,EF∩GF=F,

    ∴平面EGF∥平面ABD.

     (3)解:∵B₁D⊥平面ABD,平面EGF∥平面ABD,

    ∴B₁D⊥平面EGF.

    則HD即為平行平面EGF與ABD之間的距離,

    ∴HD=B₁D-B₁H=2-=.

 

解法二:以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,BA所在直線為y軸,BB₁所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示),設(shè)AB=2a,

則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2a,0),D(2,0,2),E(0,0,3),F(1,0,4),G(1,a,4),B₁(0,0,4).

    于是=(2,0,-2),=(2,0,2),

    =(2,-2a,2),=(1,0,1),=(0,a,0).

    (1)證明:∵·=0, ·=0,

    ∴B₁D⊥BD,B₁D⊥AD.

    又BD∩AD=D,

    ∴B₁D⊥平面ABD.

    (2)證明:∵·=0, ·=0,

    ∴B₁D⊥EF,B₁D⊥FG.

    ∴B₁D⊥平面EFG.

    由(1)得B₁D⊥平面ABD,

    故平面EFG∥平面ABD.

    (3)解:由(1)得平面ABD的一個(gè)法向量為=(2,0,-2).又=(2,0,-1),

    ∴d=

    ==.

    ∴平面EGF與平面ABD的距離為.

講評:兩平行平面間的距離是指夾在兩平行平面之間的公垂線段的長度,通�？赊D(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離,即在某個(gè)平面內(nèi)找一個(gè)特殊點(diǎn),求該點(diǎn)到另一個(gè)面的距離;而點(diǎn)到面的距離有時(shí)也可看作某個(gè)棱錐的高,再利用等積法來求解.