Question

如圖，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，

（Ⅰ）證明：;

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

 

解法一：

（I）取AB中點E，連結(jié)DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2，

連結(jié)SE，則 又SD=1，故，

所以為直角。  …………3分

由，

得平面SDE，所以。  SD與兩條相交直線AB、SE都垂直。

所以平面SAB。              …………6分

（II）由平面SDE知， 平面平面SED。

作垂足為F，則SF平面ABCD，

作，垂足為G，則FG=DC=1。  連結(jié)SG，則，

又，

故平面SFG，平面SBC平面SFG。   …………9分

作，H為垂足，則平面SBC。

，即F到平面SBC的距離為

由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距離d也有

設(shè)AB與平面SBC所成的角為α，   則-----------------12分

解法二：

以C為坐標(biāo)原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C—xyz。

設(shè)D（1，0，0），則A（2，2，0）、B（0，2，0）。

又設(shè)

（I），，

由得

故x=1。

由

又由

即        …………3分

于是，

所以平面SAB。           …………6分

（II）設(shè)平面SBC的法向量，

則

又

故            …………9分

取p=2得。

故AB與平面SBC所成的角正弦為----------12分

【解析】略