Question

已知等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3^n-1，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足對任意自然數(shù)n都有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn

an

=2n+1恒成立．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；  
（2）求b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁的值．

Answer 1

（1）∵對任意正整數(shù)n，有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn

an

=2n+1，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn-1

an-1

=2n-1，②…（4分）
①-②得  

bn

an

=2；  故 b_n=2a_n =2×3^n-1（n≥2）． …（7分）
當(dāng)n=1時(shí)，

b1

a1

=3，
又a₁=1，∴b₁=3．
∴bn=

3，(n=1) 2×3n-1，(n≥2)

． …（10分）
（2）b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁=3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰）=3+3（3²⁰¹⁰-1）=3²⁰¹¹．…（15分）