Question

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列.

(1)若a_n＞0，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25,求a₃+a₅;

(2)若a₁+a₂+a₃=7,a₁a₂a₃=8,求a_n.

Answer 1

思路分析一：(1)已知條件便轉(zhuǎn)化為關(guān)于a₁與q的方程求解.

(2)注意到a₁a₃=a₂²，則可立即求得a₂，這樣兩個(gè)已知條件便轉(zhuǎn)化成了關(guān)于a₁、a₃的二元二次方程組.

解法一：(1)設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公比為q，則由a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25,得a₁²q⁴(1+2q²+q⁴)=25,即a₁²q⁴(1+q²)²=25.因?yàn)閍_n＞0,所以a₁q²(1+q²)=5,故a₃+a₅=a₁q²+a₁q⁴=a₁q²(1+q²)=5.

(2)因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中，a₁a₃=a₂²,所以由a₁a₂a₃=8得a₂³=8,∴a₂=2.

將a₂=2代入題中條件，得方程組

解得

從而得q=2或q=,

于是得a_n=2^n-1或a_n=

思路分析二：(1)用整體思想，把條件化為a₃+a₅的方程.

(2)可用通項(xiàng)公式的變式a_n=a_m·q^n-m.

解法二：(1)∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，

∴a₂·a₄=a₃²,a₄·a₆=a₅²,

∴條件a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，

化為:a₃²+2a₃a₅+a₅²=25,即

(a₃+a₅)²=25,

又a_n＞0,∴a₃+a₅＞0.

∴a₃+a₅=5.

(2)∵a₁a₃=a₂²,

∴條件a₁a₂a₃=8化為：

a₂³=8,∴a₂=2.

條件a₁+a₂+a₃=7化為：

+2+2×q=7化為：

2q²-5q+2=0解得

q=2或.

由a_n=a₂·q^n-2,

∴a_n=2×2^n-2=2^n-1或a_n=2×()^n-2=