Question

橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，過F₁的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)A在圓x²+y²=c²(c為橢圓的半焦距)上，且|F₁A|=c，求橢圓的離心率；

(2)若函數(shù)y=+log_mx(m＞0且m≠1)的圖象，無論m為何值時(shí)恒過定點(diǎn)(b，a)，求·的取值范圍.

Answer 1

解:(1)∵點(diǎn)A在圓x²+y²=c²上,∴△AF₁F₂為一直角三角形.

∵|F₁A|=c,|F₁F₂|=2c,

∴|F₂A|==c.

由橢圓的定義,知|AF₁|+|AF₂|=2a，∴c+3c=2a.∴e==3-1.

(2)∵函數(shù)y=+log_mx的圖象恒過點(diǎn)(1,),∴a=,b=1,c=1,

點(diǎn)F₁(－1，0)，F(xiàn)₂(1，0).

①若AB⊥x軸,則A(-1,),B(-1,)，

∴=(-2,),=(-2,),·=4=.

②若AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的斜率為k，則AB的方程為y=k(x+1).

由消去y得(1+2k²)x²+4k²x+2(k²-1)=0.(*)

∵Δ=8k²+8＞0,∴方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根.

設(shè)點(diǎn)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁，x₂是方程(*)的兩個(gè)根.

x₁+x₂=,x₁x₂=.

=(x₁-1,y₁),=(x₂-1,y₂),·=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(1+k²)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+1+k²

=(1+k²)+(k²-1)()+1+k²=.

∵1+2k²≥1,∴0＜≤1,0＜≤,-1≤·=＜.

由①②知-1≤·＜.