Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ABC為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點．
（I）求證：AF平面BCE；
（II）求二面角D﹣BC﹣E的正弦值．

Answer 1

（I）證明：取CE的中點G，連FG、BG．
∵F為CD的中點，
∴GFDE且GF=DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴ABDE，∴GFAB．
又AB=DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG．
∵AF平面BCE，BG平面BCE，
∴AF平面BCE．
（II）過E作EM⊥面BCD，垂足為M，
過E作EN⊥BC，則∠ENM為二面角D﹣BC﹣E的平面角
設AB=a，則AD=DE=2a，
所以BC=BD=a，AF=2a，CE=2a
由（I）BGAF，
∴BG⊥CD
∵BG⊥DE，CD∩DE=D，
∴BG⊥面CDE
由VB﹣CDE=VE﹣BCD，可得EM=
在△BCE中，，
∴EN=
設二面角D﹣BC﹣E的平面角θ，則sinθ=