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已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和平面α相交，并且和a、b、c三條直線成等角.求證：l⊥α.

證明：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO=BO=CO.設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中，

∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，

∴△POA≌△POB≌△POC.

∴PA=PB=PC.取AB的中點(diǎn)D,

連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB.

∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.

∵PO平面POD,∴PO⊥AB.

同理,可證PO⊥BC.

∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.

若l不經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，可經(jīng)過點(diǎn)O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α，

∴l(xiāng)⊥α.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且
OP
=
OB
+
OC
2
+λ(
AB
|
AB
|cosB
+
AC
|
AC
|cosC
)  (λ＞0)，則P的軌跡過△ABC的（　�。�
A、重心B、垂心C、內(nèi)心D、外心

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足
OP
=
1
3
(
1
2
OA
+
1
2
OB
+2
OC
)，則點(diǎn)P一定為三角形ABC的（　　）
A、AB邊中線的中點(diǎn)
B、AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）
C、重心
D、AB邊的中點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線上三點(diǎn)，O為△ABC外心，動(dòng)點(diǎn)P滿足：
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]（λ∈R且λ≠0），則P的軌跡一定通過△ABC的（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，o為平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足等式
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
](λ∈R且λ≠1，則P的軌跡一定通過△ABC的（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C是平面內(nèi)互異的三點(diǎn)，O為平面上任意一點(diǎn)，
OC
=x
OA
+y
OB
，求證：
（1）若A，B，C三點(diǎn)共線，則x+y=1；
（2）若x+y=1，則A，B，C三點(diǎn)共線．

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同步練習(xí)冊(cè)答案