Question

5．設(shè)z=3x+4y，式中變量x，y滿(mǎn)足下列條件：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤12}\\{2x+y≤16}\\{-x+2y≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，求z的最大值和最小值．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=3x+4y得y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$，
平移直線(xiàn)y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，直線(xiàn)y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$的截距最小，
此時(shí)z最小，最小值為z=0，
當(dāng)直線(xiàn)y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$的截距最大，
此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=12}\\{2x+y=16}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{20}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
即A（$\frac{20}{3}$，$\frac{8}{3}$），
此時(shí)z最大值z(mì)=3×$\frac{20}{3}$+$\frac{8}{3}$×4=$\frac{92}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵考查學(xué)生的作圖能力．