Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、（）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上、A₂兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。

（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為；對(duì)給定的，對(duì)應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問：在上，是否存在點(diǎn)，使得△的面積。若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，C₁的方程為；

　　 當(dāng)時(shí)，C₂的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為.

　　 對(duì)于給定的，C₁上存在點(diǎn)使得的充要條件是

① ②

　　

　　　　　 由①得，由②得

　　 當(dāng)即，或時(shí).

　　 存在點(diǎn)N, 使　　　　　　

　　 當(dāng)即，或時(shí)，

　　 不存在滿足條件的點(diǎn)N.

　　 當(dāng)時(shí)，

　　 由，[來源:學(xué)科網(wǎng)]

　 　可得

　　 令

　　 則由可得，

　　 從而于是由

　　 可得，即

　　 綜上可得：

　　 當(dāng)時(shí)，在C₁上，存在點(diǎn)N，使得，且

　　 當(dāng)時(shí)，在C₁上，存在點(diǎn)N，使得，且；

　　 當(dāng)時(shí)，在C₁上，不存在滿足條件的點(diǎn)N.