Question

20．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{a}{x}$-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≥0時，記函數(shù)Γ（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-2a）x+$\frac{a}{x}$-1+f（x），試求Γ（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（a）=3λa-2a²（其中λ為常數(shù)），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，求h（a）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時，化簡函數(shù)的解析式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出斜率以及切點(diǎn)坐標(biāo)，求解切線方程．
（Ⅱ）化簡函數(shù)Γ（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}+（1-2a）x+\frac{a}{x}$-1+f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過①當(dāng)a=0時，②當(dāng)a＞0時，分別通過函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．求出單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點(diǎn)，利用題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，求出a的范圍然后求解h（a）_max值即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，$f（x）=1-\frac{1}{x}-lnx$，$f'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$，
則$f'（\frac{1}{2}）=4-2=2$，$f（\frac{1}{2}）=1-2+ln2=ln2-1$∴函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)$（\frac{1}{2}，f（\frac{1}{2}））$的切線方程為：$y-（ln2-1）=2（x-\frac{1}{2}）$，
即2x-y+ln2-2=0．…（4分）
（Ⅱ）∵$f（x）=1-\frac{a}{x}-lnx$，∴$Γ（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+（1-2a）x-lnx$（x＞0），$Γ'（x）=ax+（1-2a）-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-（2a-1）x-1}}{x}$，
①當(dāng)a=0時，$Γ'（x）=\frac{x-1}{x}$，
由$Γ'（x）=\frac{x-1}{x}≤0$及x＞0可得：0＜x≤1，∴Γ（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]…（6分）
②當(dāng)a＞0時，$Γ'（x）=\frac{{a{x^2}-（2a-1）x-1}}{x}$，
由ax²-（2a-1）x-1=0可得：△=（2a-1）²+4a=4a²+1＞0，
設(shè)其兩根為x₁，x₂，因?yàn)?{x_1}{x_2}=-\frac{1}{a}＜0$，所以x₁，x₂一正一負(fù)，
設(shè)其正根為x₂，則${x_2}=\frac{{2a-1+\sqrt{4{a^2}+1}}}{2a}$，
由$Γ'（x）=\frac{{a{x^2}-（2a-1）x-1}}{x}≤0$及x＞0可得：$0＜x≤\frac{{2a-1+\sqrt{4{a^2}+1}}}{2a}$，∴Γ（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（0，\frac{{2a-1+\sqrt{4{a^2}+1}}}{2a}]$．…（8分）
（Ⅲ）$f'（x）=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{x^2}$，由f'（x）=0⇒x=a，
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上不存在極值，所以a≤0或a≥2…（10分）對于h（a）=3λa-2a²，對稱軸$a=\frac{3}{4}λ$，
當(dāng)$\frac{3λ}{4}≤0$或$\frac{3λ}{4}≥2$，即λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$時，$h{（a）_{max}}=h（\frac{3}{4}λ）=\frac{9}{8}{λ^2}$；
當(dāng)$0＜\frac{3λ}{4}≤1$，即$0＜λ≤\frac{4}{3}$時，h（a）_max=h（0）=0；
當(dāng)$1＜\frac{3λ}{4}＜2$，即$\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}$時，h（a）_max=h（2）=6λ-8；
綜上可知：$h{（a）_{max}}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9}{8}{λ^2}，λ≤0或λ≥\frac{8}{3}}\\{0，0＜λ≤\frac{4}{3}}\\{6λ-8，\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}}\end{array}}\right.$．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值最值的求法，考查分類討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．