Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上的一點(diǎn)P（x₀，y₀）到左焦點(diǎn)的距離與到右焦點(diǎn)的距離之差為2$\sqrt{2}$，且到兩條漸進(jìn)線的距離之積為$\frac{2}{3}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義知a，根據(jù)雙曲線方程可得它的漸近線方程為bx±ay=0，利用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合已知條件列式，可得b，再用平方關(guān)系可算出c，最后利用雙曲線離心率的公式，可以計(jì)算出該雙曲線的離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線的定義知，2a=2$\sqrt{2}$，∴a=$\sqrt{2}$，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）兩條漸近線的方程為bx-ay=0或bx+ay=0，
點(diǎn)P（x₀，y₀）到兩條漸近線的距離之積為$\frac{|b{x}_{0}-a{y}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}•\frac{|b{x}_{0}+a{y}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=\frac{2}{3}$，即$\frac{2^{2}}{2+^{2}}=\frac{2}{3}$，
∴b=1，∴c=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題給出雙曲線一個焦點(diǎn)到漸近線的距離與到左焦點(diǎn)的距離與到右焦點(diǎn)的距離之差，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．