Question

若△ABC 的三邊長分別為a，b，c，面積為s．則△ABC的內切圓半徑 r=

2s

a+b+c

；類似的，若四面體ABCD的四個面的面積分別為s₁，s₂，s₃，s₄，體積為V，則四面體ABCD的內切球半徑r為（　　）

• A、

  3v

  s1s2s3s4

• B、

  3v

  s1+s2+s3+s4

• C、

  2v

  s1+s2+s3+s4

• D、

  2v

  s1s2s3s4

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：根據平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答： 解：由線段長度類比面積，面積類比到體積，即一維類比到二維，二維到三維，
若△ABC 的三邊長分別為a，b，c，面積為s．則△ABC的內切圓半徑 r=

2s

a+b+c

；類似的，若四面體ABCD的四個面的面積分別為s₁，s₂，s₃，s₄，體積為V，則四面體ABCD的內切球半徑r為

3v

s1+s2+s3+s4

．
證明如下：
設四面體的內切球的球心為O，
則球心O到四個面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O為頂點，
分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．
則四面體的體積為 V_{四面體A-BCD}=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）r，
∴r=

3v

s1+s2+s3+s4

故選：B．

點評：類比推理是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質類比遷移到另一類數學對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（或猜想）．