Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

3

x3+bx+cx+bc(b、c∈R，且b≠0），求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)．

Answer 1

設(shè)曲線y=f（x）在x=x₀處的切線的斜率為c

∵f′(x)=-x2+2bx+c ∴- x 20 +2bx0+c=c

解得x₀=0或x₀=2b…（2分）
①當(dāng)x₀=0，則f（0）=bc得切點(diǎn)為（0，bc），切線方程為y=cx+bc
若-

1

3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc…（4分）

?x3-2bx2=0解得x1=x2=0， x3=3b則此時(shí)切線y=cx+bc

與曲線y=f（x）的公共點(diǎn)為（0，bc），（3b，4bc）…（6分）
②當(dāng)x₀=2b，則f（2b）=

4

3

b3+2bc，
得切點(diǎn)為(2b，

4

3

b3+2bc)，切線方程為y=cx+bc+

4

3

b3
若-

1

3

x3+bx2+cx+bc=cx+bc+

4

3

b3…（8分）

?x3-2bx2+4b3=0解得x1=x2=2b， x3=-b，則此時(shí)y=cx+bc+ 4 3 b3與曲線

y=f(x)的公共點(diǎn)為(2b，

4

3

b3+3bc)，(-b，

4

3

b3)…（11分）
綜合上述，當(dāng)b≠0時(shí)，斜率為c的切線與曲線y=f（x）有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，
分別為(0，bc)和(3b，4bc)，或(2b，

4

3

b3+2bc)和(-b，

4

3

b3)…（12分）