Question

若函數(shù)y=

ax+b

x2+x-1

的值域為(-∞，

1

5

]∪[1，+∞)，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：由題意，本題是一個知道函數(shù)值域求參數(shù)的值的問題，由于它可以變?yōu)橐粋�關(guān)于x二次方程，故可以采用判別式法得到關(guān)于a，b的方程求出兩者的值

解答：解：由題意函數(shù)y=

ax+b

x2+x-1

可變?yōu)閥x²+（y-a）x-（b+y）=0
由題設(shè)條件，此方程一定有根，y=0時顯然成立
當(dāng)y≠0時，必有△≥0，即（y-a）²+4y（b+y）≥0
整理得5y²-（2a-4b）y+a²≥0
又函數(shù)y=

ax+b

x2+x-1

的值域為(-∞，

1

5

]∪[1，+∞)，
∴

1

5

，1是方程5y²-（2a-4b）y+a²=0的兩個根，且a＞0
∴

1

5

+1=

2a-4b

5

，

1

5

×1=

a2

5

，
解得a=1，b=-1或a=-1，b=-2
答：a=1，b=-1或a=-1，b=-2

點評：本題是判別式法求值域的變形運用，其特點是變形得到關(guān)于函數(shù)值的不等式，再由不等式的解集端點與相應(yīng)方程式根的關(guān)系建立參數(shù)方程求參數(shù)，判斷別式法求值域是應(yīng)用較少的一個技巧，運用時易忘掉二次項為0時的討論，用此法作題時應(yīng)注意．求f（x）=

a2x2+b2x+c2

a1x2+b1x+c1

（a₁²+a₂²≠0）的值域時，常利用函數(shù)的定義域非空這一隱含的條件，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，利用△≥0轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)值的不等式．求解時，要注意二次項系數(shù)為字母時要討論．．