Question

在等差數(shù)列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

Sn+n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知列方程組求得首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=n²，代入b_n=

1

Sn+n

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

，然后利用裂項(xiàng)相消法數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，得
2a₁+3a₂=2a₁+3（a₁+d）=5a₁+3d=11  ①，
2a₃=a₂+a₆-4，即2（a₁+2d）=a₁+d+a₁+5d-4  ②，
聯(lián)立①②解得d=2，a₁=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=n×1+

1

2

n（n-1）×2=n²，
b_n=

1

Sn+n

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．