Question

某高校在今年的自主招生考試成績中隨機抽取100名考生的筆試成績，分為5組制出頻率分布直方圖如圖所示．

組別	成績	人數(shù)	頻率
1	[75，80）	5	0.05
2	[80，85）	35	0.35
3	[85，90）	a	b
4	[90，95）	c	d
5	[95，100）	10	0.1

（1）求a，b，c，d的值；
（2）該校決定在成績較好的3、4、5組用分層抽樣抽取6名學生進行面試，則每組應各抽多少名學生？
（3）在（2）的前提下，已知面試有4位考官，被抽到的6名學生中有兩名被指定甲考官面試，其余4名則隨機分配給3位考官中的一位對其進行面試，求這4名學生分配到的考官個數(shù)X的分布列和期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由頻率分布直方圖，求出成績有[85，90）中的頻率，由此能求出a，b，c，d的值．
（2）3、4、5組的學生數(shù)分別為30，20，10，由此能求出用分層抽樣抽取6名學生進行面試，每組應各抽多少名學生．
（3）由已知得X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出這4名學生分配到的考官個數(shù)X的分布列和期望．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖，知成績有[85，90）中的頻率為：
b=0.06×5=0.3，
∴成績有[85，90）中的人數(shù)a=0.3×100=30，
∴c=100-5-35-30-10=20，d=

20

100

=0.2．
（2）3、4、5組的學生數(shù)分別為30，20，10，
用分層抽樣抽取6名學生進行面試，
則第3組抽取人數(shù)為：

30

30+20+10

×6=3人，
第4組抽取學生人數(shù)為：

20

30+20+10

×6=2人，
第5組抽取學生人數(shù)為：

10

30+20+10

×6=1人．
（3）由已知得X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=

C 4 4 • A 1 3

34

=

3

81

，
P（X=2）=

( C 2 4 C 2 2 A 2 2 + C 3 4 )• A 2 3

34

=

42

81

，
P（X=3）=

C 2 4 • C 1 2 C 1 1 A 2 2 A 2 3

34

=

36

81

，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	1 81	42 81	36 81

EX=1×

1

81

+2×

42

81

+3×

36

81

=

193

81

．

點評：本題考查頻率分布直方圖的應用，考查分層抽樣的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用，是中檔題．