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已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設a＞1，b＞0，求證：
1
a+b
＜ln
a+b
b
＜
a+b
b
．
（Ⅰ）f′(x)=
ax-1
ax2
，a＞0，
因為函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以f′(x)=
ax-1
ax2
≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
即：ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，亦即a≥
1
x
對x∈[1，+∞）恒成立，
a≥(
1
x
)max=1，即a≥1．
故正實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
（Ⅱ）證明：一方面，由（1）知，f(x)=
1-x
ax
+lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以f(
a+b
b
)＞f(1)=0，即
1-
a+b
b
a•
a+b
b
+ln
a+b
b
＞0，即ln
a+b
b
＞
1
a+b
．
另一方面，設函數(shù)g（x）=x-lnx（x＞1），g′（x）=1-
1
x
=
x-1
x
＞0（x＞1），
所以g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
又g（1）=1＞0，當x＞1時，g（x）＞g（1）＞0，所以x＞lnx，則ln
a+b
b
＜
a+b
b
．
綜上，
1
a+b
＜ln
a+b
b
＜
a+b
b
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實數(shù)x的取值范圍是（　　）
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當a=1時，求證對任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結論中正確的是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　　）

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