Question

10．如圖，一隧道由一個(gè)長方形和拋物線構(gòu)成，現(xiàn)欲在隧道拋物線拱頂上安裝交通信息采集裝置，若位置C對(duì)隧道底AB的張角最大時(shí)采集效果最好，則采集效果最好時(shí)位置C到AB的距離是6-$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出拋物線的方程，設(shè)C（x，y）（y＞-6），由A（-3，-6），B（3，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+3}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-3}$，可得tan∠BCA，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0），
將點(diǎn)（4，-4）代入，可得p=2，
所以拋物線方程為x²=-4y，
設(shè)C（x，y）（y＞-6），則
由A（-3，-6），B（3，-6），可得k_CA=$\frac{y+6}{x+3}$，k_CB=$\frac{y+6}{x-3}$，
∴tan∠BCA=$\frac{\frac{y+6}{x+3}-\frac{y+6}{x-3}}{1+\frac{y+6}{x+3}•\frac{y+6}{x-3}}$=$\frac{-6（y+6）}{{x}^{2}-9+（y+6）^{2}}$
=$\frac{-6（y+6）}{{y}^{2}+8y+27}$，
令t=y+6（t＞0），則tan∠BCA=$\frac{-6t}{{t}^{2}-4t+15}$=$\frac{-6}{t+\frac{15}{t}-4}$≤$\frac{-6}{2\sqrt{15}-4}$，
所以t=$\sqrt{15}$，y=$\sqrt{15}$-6時(shí)，位置C對(duì)隧道底AB的張角最大，
故答案為：6-$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與應(yīng)用，考查基本不等式，確定拋物線的方程及tan∠BCA，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵．