Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=5，a₄+a₈=22．{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使得s_n＞5n成立的最小正整數(shù)n的值．
（3）設(shè)c_n=（-1）ⁿ⁺¹•a_n•a_n+1，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（1）∵a₄+a₈=22，∴a₆=11，∴a₆-a₃=3d=11-5=6，∴d=2，∴a₁=1，∴a_n=2n-1． …（3分）
（2）sn=

n(2n-1+1)

2

=n2，∴n²＞5n，故n的最小正整數(shù)為6．…（6分）
（3）c_n=（-1）ⁿ⁺¹（2n-1）（2n+1）=（-1）ⁿ⁺¹（4n²-1）=

4n2-1(n為奇數(shù)) 1-4n2(n為偶數(shù))

…（8分）
①n為奇數(shù)時(shí)，Tn=（4×1²-1）+（1-4×2²）+（4×3²-1）+（1-4×4²）+…+4n²-1=-4（2²-1²+4²-3²+…+（n-1）²-（n-2）² ）+4n²-1
=-4（3+7+11+…+2n-3）+4n²-1=2n²+2n-2，…（10分）
②n為偶數(shù)時(shí)，Tn=（4×1²-1）+（1-4×2²）+（4×3²-1）+（1-4×4²）+…+1-4n²=-4（2²-1²+4²-3²+…+（n）²-（n-1）²）
-4（3+7+11+…+2n-1）=-2n²-2n，…（12分）
∴Tn=

2n2+2n-2(n為奇數(shù)) -2n2-2n(n為偶數(shù))

．…（14分）