Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）設(shè)FC的中點為M，求證：OM∥面DAAF；
（2）求證：AF⊥面CBF．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）先證明OM∥AN，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明OM∥面DAF；
（2）由題意可先證明AF⊥CB，由AB為圓O的直徑，可證明AF⊥BF，根據(jù)線面垂直的判定定理或面面垂直的性質(zhì)定理即可證明AF⊥面CBF．

解答： 解：（1）設(shè)DF的中點為N，連接MN，
則MN∥

1

2

CD，MN=

1

2

CD，
又∵AO∥

1

2

CD，AO=

1

2

CD，
∴MN∥AO，MN=AO，
∴MNAO為平行四邊形，
∴OM∥AN．
又∵AN?面DAF，OM?面DAF，
∴OM∥面DAF．
（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB?面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，
∴CB⊥面ABEF．
∵AF?面ABEF，
∴AF⊥CB．
又∵AB為圓O的直徑，
∴AF⊥BF，
又∵CB∩BF=B，CB，BF?面CBF．
∴AF⊥面CBF．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．